عدد رمزی ابرگراف های k-یکنواخت

ابرگراف کامل ‎‎‏‎‎‎k-یکنواخت ‎k_n^k متشکل از مجموعه ای n رأسی است که شامل تمامیk-تایی ها ‏است. کوچکترین عدد صحیح مثبت n که در هر رنگ آمیزی دلخواه ازk -تایی های مجموعه ی [n]، با رنگ های قرمز و آبی، بتوان کپی k_s^k قرمز یا k_n^k آبی در آن یافت‏، عدد رمزی r_k (s,n) می نامیم. محاسبه ی اعداد رمزی از پیچیدگی بالایی برخوردار است‏، از همین رو روند بهبود کران های اعداد رمزی و نتایج حاصل از آن ها همواره مورد توجه بوده است . اردوش و هاجنال در لمی با عنوان ‎بالا-پله ای‎‏ نشان دادند که می توان از کران پایین اعداد رمزی ابرگراف های کاملk-یکنواخت، کران پایینی برای عدد رمزی ابرگراف های ‏کامل(k+1)-یکنواخت به دست آورد. متاسفانه این روش تنها برای k?3 کارآمد است. به همین دلیل کوچک کردن شکاف بزرگی که میان کران بالا و پایین اعداد رمزی ابرگراف‎ها وجود دارد، با یافتن کران خوبی برای ابرگرف های 3-یکنواخت آسان تر می شود. اردوش و رادو در سال 1952 با استفاده از یک الگوریتم حریصانه کران بالایی برای r_3 (s,n) به دست آوردند. ‎‏روش مبتکرانه ی آن ها مورد توجه سوداکو و همکارانش واقع شد. سوداکو و همکارانش در سال 2009 این کران بالا را با ارائه ی دو راه حل بهبود بخشیدند. یکی از آن راه حل ها استفاده از بازی "بنّا و نقاش "بود‏، آن ها با استراتژی بردی که نشان دادند در این بازی وجود دارد، توانستند کران بالای بهتری برای عدد رمزی r_3 (s,n) ارائه دهند و چندی بعد در سال 2011 با روشی مشابه روش اردوش-رادو‏، یک کران بالا برای ‏عدد رمزی ابرگراف کامل 3-یکنواختd -بخشی‏ k_d^3 (n) ارائه دادند. با ارائه و اثبات این کران بالا به دو سوال باز از اردوش و هاجنال که در سال 1989 مطرح شده بود پاسخ داده شد.